<T->
          Matemtica e realidade
          9 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4442
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1069-4
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                               I
Sumrio

Quinta Parte

Unidade 5 -- Estatstica 
  e probabilidade 
 Captulo 16- Contagem e 
  probabilidade ::::::::::: 497
Princpio fundamental da 
  contagem :::::::::::::::: 499
Probabilidade: de quanto   
  a chance? ::::::::::::::: 510

Unidade 6 -- Polgonos e 
  circunferncia 
 Captulo 17- rea do 
  retngulo, do quadrado e 
  do paralelogramo :::::::: 536
rea ::::::::::::::::::::: 536
Captulo 18- rea do 
  tringulo, do losango e 
  do trapzio ::::::::::::: 566
rea do tringulo :::::::: 566
rea do losango :::::::::: 585
rea do trapzio ::::::::: 587
<p>
Captulo 19- Polgonos 
  regulares ::::::::::::::: 593
Polgonos simples e no 
  simples ::::::::::::::::: 593
Polgonos convexos e 
  cncavos :::::::::::::::: 594
Polgono regular ::::::::: 602
<174>
<T mat. realidade 9>
<t+497> 
<R+>
Unidade 5 -- Estatstica 
  e probabilidade

Captulo:
 16- Contagem e probabilidade  

Unidade 6 -- Polgonos e 
  circunferncia 

<R+>
<F->
Captulos:
17- rea do retngulo, do 
  quadrado e do paralelogramo 
18- rea do tringulo, do 
  losango e do trapzio
19- Polgonos regulares  
<F+>
<R->

Captulo 16- Contagem e 
  probabilidade  

O sorvete e a cobertura 

  A sorveteria Olmpia est fazendo uma promoo: o cliente monta seu pedido escolhendo entre os sabores coco, creme, morango e 
<p>
chocolate e entre as coberturas *chantilly* e caramelo. 
  Como nessa promoo s se pode pedir um sabor e uma cobertura por vez, de quantos modos  possvel compor o pedido? 
  Veja este esquema: 

<F->
<R+>
_`[{esquema adaptado, sequncia a seguir_`]
sabor + cobertura = taa:
coco + caramelo e chantilly; 
  coco-caramelo e coco-chantilly = 
  = taa.
creme + caramelo e chantilly; 
  creme-caramelo e creme-
  -chantilly = taa.
morango + caramelo e chantilly; 
  morango-caramelo e morango-
  -chantilly = taa.
chocolate + caramelo e chantilly; 
  chocolate-caramelo e chocolate-
  -chantilly = taa.
<R->
<F+>

  Temos 4 possibilidades para escolher o sabor. Para cada uma delas, temos 2 possibilidades para escolher a cobertura. No total, temos 42 possibilidades para montar a taa com cobertura. Logo, h 8 modos de compor o pedido. 

Princpio fundamental da contagem 

  Se, no problema proposto anteriormente, a promoo da sorveteria incluir 12 sabores e 4 coberturas, de quantos modos se poder compor o pedido? 
  Nesse caso, temos 12 maneiras de escolher o sabor e, para cada uma, 4 maneiras de escolher a cobertura. 
  Logo, temos 124 maneiras de montar a taa com cobertura. H 48 modos de compor o pedido. 
  Note que resolvemos a questo sem precisar escrever, um por um, os possveis pedidos e depois cont-los. Fizemos uma contagem indireta. 
<175>
  Em Matemtica, e no dia a dia,  muito comum encontrarmos problemas de contagem.  importante saber resolv-los por mtodos que no exijam a contagem direta que, em geral, pode ser muito trabalhosa e conduzir a erro por omisso ou repetio. 
  No exemplo do sorvete com cobertura aplicamos o princpio fundamental da contagem, que pode ser enunciado como segue. 

  Se uma ao  composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser realizada de *m* modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de *n* modos, ento o nmero de modos de realizar a ao  m.n. 

  Esse princpio pode ser estendido a aes compostas de mais de duas etapas. 

Exerccios

<R+>
<F->
29. Adriana deseja formar um conjunto cala-blusa para vestir-se. Se ela dispe de 4 calas e 6 blusas para escolher, de quantos modos pode formar o conjunto? 

30. Quantos so os nmeros de trs algarismos em que todos eles so mpares? Ou seja: de quantos modos podemos formar um nmero de trs algarismos usando apenas os algarismos mpares? 
algarismo da centena; algarismo da dezena; algarismo da unidade. 
  Para resolver esse problema, responda s questes a seguir. 
a) Quais so os algarismos mpares? Quantos so? 
b) Quantas so as possibilidades para o algarismo da centena? 
c) Para cada centena, quantas so as possibilidades para a dezena?  
d) Para cada centena e dezena, quantas so as possibilidades para a unidade? 
e) Finalmente, quantas so as possibilidades de formar o nmero? Quantos so os nmeros? 
<p>
31. Quantos so os nmeros de trs algarismos em que todos eles so mpares e diferentes 
  entre si? (Siga o roteiro do exerccio anterior e atente: quando for escolher o algarismo das dezenas, ele no poder ser igual ao das centenas; o das unidades no poder ser igual a algum dos anteriores.) 

32. Em um colgio h quatro portes. 
a) Quantas so as possibilidades de entrar por um porto e sair por outro?  
b) Quantas so as possibilidades de escolha dos portes para entrar e depois sair do colgio? 

33. Uma moeda  lanada quatro vezes e a sequncia de resultados, cara ou coroa, de cada lanamento  anotada. 
cara; cara; coroa; cara.
  Quantas sequncias diferentes podem ser formadas? 
<176>
<p>
34. Na expresso matemtica a 
  '''b '''c '''d, cada lacuna deve ser preenchida com + ou . Quantas expresses diferentes podem ser formadas?  

35. Considerando que para as placas dos automveis  possvel usar os algarismos de 0 a 9 e todas as letras do alfabeto: 
<F+>
<R->

<F->
  !::::::::::::::::::::::::
  l  Pato Branco - PR  _
  l  KSY 7701           _
  h::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<R+>
<F->
a) quantas placas de licena de veculos podem ser formadas com 3 letras e 4 dgitos?  
b) se forem excludas as placas com quatro zeros, quantas sobram? 
<p>
36. Samanta vai  lanchonete do Pedro comer um sanduche e tomar um suco. Ela est em dvida 
  se vai ou no pedir a poro de fritas. De quantos modos ela poder compor o pedido? 
<F+>
<R->

   pcccccccccccccccccccccccccccccc
   l   Lanchonete do Pedro     _
   l      Monte seu lanche       _
   !::::::::::::::::::::::::::::
   l sanduche _ batata  _ sucos  _
   l           _ frita   _        _
   r:::::::::::w:::::::::w::::::::w
   l carne     _ pequena _ laranja_
   r:::::::::::w:::::::::w::::::::w
   l queijo    _ grande  _ abacaxi_
   r:::::::::::w:::::::::w::::::::w
   l frango    _         _ manga  _
   h:::::::::::j:::::::::j::::::::j

<R+>
<F->
37. Trs alunos dos 9s anos vo compor uma comisso de organizao da formatura. De quantos modos podem ser escolhidos se a comisso for formada por: 
<p>
           $::::::::::::::::::
           _ Rapazes _ Moas _
  !::::::::w::::::::::w::::::::w
  l 9 A _ 15      _ 22    _
  r::::::::w::::::::::w::::::::w
  l 9 B _ 18      _ 20    _
  h::::::::j::::::::::j::::::::j

a) um rapaz de cada classe e mais uma moa? 
b) uma moa de cada classe e mais um rapaz?  
<F+>
<R->
<F+>

<R+>
<F->
38. Uma prova consta de 20 testes, cada um com quatro alternativas das quais apenas uma  correta. 
a) De quantos modos pode ser montado o gabarito da prova? 
b) Estime o resultado do item anterior usando a aproximao 210^=103. 

39. Para acessar a internet, Gilberto Dunas escolheu uma senha formada por seis letras diferentes, todas presentes no 
  seu nome. A senha comea por consoante e vai alternando consoante e vogal. De quantos modos pode ser formada essa senha? 
<F+>
<R->
<177>

Outros problemas de contagem 

  Problemas de contagem foram propostos nesta coleo, desde o 6 ano. Muitos deles em forma de desafios. Vamos resolver mais alguns. 

Exerccios

<R+>
<F->
40. Ari, Bete, Caio e Mara encontraram-se para jogar bola. Cada um cumprimentou todos os outros com um aperto de mos. 
a) Quantos foram os apertos de mos de Ari?  
b) Quantos foram os apertos de mos de Bete? 
c) Quantos foram os apertos de mos de Caio?  
d) Quantos foram os apertos de mos de Mara? 
<p>
e) Quantos foram os apertos de mos entre Ari e Bete? 
f) Qual foi o total de apertos de mos? 

41. Cem pessoas compareceram a uma festa. Se cada uma cumprimentou todas as outras, uma vez cada uma, quantos foram os cumprimentos dados nessa festa? 

42. Com extremidades em dois de cinco pontos escolhidos numa circunferncia, podemos traar dez segmentos de reta (cordas). 
a) Se forem dez pontos, quantos sero os segmentos de reta? 
b) Para 120 segmentos de reta, quantos pontos so necessrios?  

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<p>
43. Em uma sorveteria h dez sabores diferentes de sorvete. 
a) De quantos modos podemos escolher dois sabores diferentes para montar uma casquinha de duas bolas?  
b) Quantas casquinhas diferentes, de duas bolas cada uma, podem ser montadas? 

44. Nove alunos fizeram um trabalho em grupo e dois deles devero apresent-lo perante a classe. De quantos modos podem ser escolhidos os dois alunos que faro a apresentao? 

45. Em um campeonato em que participam 12 equipes, cada uma 
  joga uma vez contra cada uma das demais. 
a) Quantos so os jogos do campeonato?  
b) Quantas equipes so necessrias para que o campeonato tenha 190 jogos? 
<F+>
<R->
<178>
<p>
A chance de Luciana 

  Luciana  aluna do 9 ano D. A classe dela  composta de 32 alunos, dos quais 18 so meninas. 
  Um detalhe interessante  que na classe de Luciana existem quatro alunos canhotos, inclusive ela. Quatro pessoas canhotas em um grupo de 32  um fato bem raro! 
  Certo dia, um dos professores decidiu sortear um livro de literatura brasileira entre as turmas de 9 ano. Na classe de Luciana, qual a probabilidade de que o ganhador do livro seja: 
<R+>
<F->
a) Luciana? 
b) algum canhoto? 
c) uma menina? 
  Vejamos, ento: 
a) Todos os alunos tm a mesma chance de ganhar o livro. Como so 32 alunos, h 32 chances iguais para o resultado do sorteio. Luciana tem uma chance de 
  ganhar, em 32 possveis. Dizemos que a probabilidade de ela ganhar  a razo de 1 para 32, ou seja, a probabilidade  1~32.
b) Na classe h 4 canhotos: Luciana e mais trs. Logo, para que o ganhador seja um canhoto h 4 chances em 32. A probabilidade de o ganhador ser canhoto  4~32 ou, simplificando, 1~8.
c) Para que o ganhador seja uma menina, h 18 chances entre 32. A probabilidade de uma menina ganhar o livro  18~32, ou 9~16. 
<R->
<F+>

Probabilidade: de quanto  a 
  chance? 

  Na Teoria da Probabilidade quantificamos a chance de ocorrncia de determinado acontecimento. Uma das primeiras publicaes em que se falou em probabilidade matemtica tratava de jogos de azar: 
um folheto intitulado sobre o raciocnio em jogos de dados, de 1657. Um francs, conhecido como Chevalier de Mer, teria ganhado dinheiro apostando que, em quatro lanamentos de um dado, pelo menos uma vez ocorre o resultado "seis pontos". Os jogos forneceram boas questes e discusses, que propiciaram o desenvolvimento dessa teoria. A Estatstica, importantssima nos mais diversos ramos de atividade, apoia-se fortemente na Teoria da Probabilidade. Ao tomar uma deciso baseada em resultados de uma 
<179>
amostra,  
por meio da Teoria da Probabilidade que se estabelece, por exemplo, o risco da deciso tomada. 
  Observe, como exemplo, o quadro a seguir, com dados extrados do *site* da Caixa Econmica Federal, em 13/9/2008: 

<R+>
Probabilidades na Mega-Sena

<F->
Apostando um bilhete de seis dezenas: 1 em 50.063.860; Preo do bilhete: R$1,75.
Apostando um bilhete de sete dezenas: 1 em 7.151.980; Preo do bilhete: R$12,25.
Apostando um bilhete de oito dezenas: 1 em 1.787.995; Preo do bilhete: R$49,00.
Apostando um bilhete de nove dezenas: 1 em 595.998; Preo do bilhete: R$147,00.
Apostando um bilhete de dez dezenas: 1 em 238.399; Preo do bilhete: R$367,50.
Apostando um bilhete de quinze dezenas: 1 em 10.003; Preo do bilhete: R$8.758,75.
<F+>
<R->

  Conclua voc:  fcil ganhar nesse "negcio"? Esse tipo de anlise sempre aparece em noticirios de jornal, rdio e televiso quando o prmio da loteria est acumulado e fica muito alto. 
  Probabilidades so atribudas a resultados de experimentos aleatrios, assim denominados porque, repetidos em condies idnticas, podem apresentar resultados diferentes. A variabilidade do resultado  devida ao que chamamos acaso. 
  A situao mais simples de atribuio de probabilidades  a do nosso exemplo inicial, quando h um nmero finito de resultados possveis e com chances iguais de 
ocorrncia. Nesse caso, se forem *n* os resultados possveis do experimento, a probabilidade de 
ocorrer um que esteja entre *d* resultados desejados  a razo d~n. 

  Em um experimento aleatrio com *n* resultados possveis, de mesma chance de ocorrncia, a probabilidade de ocorrer um de *d* resultados desejados  d~n.

  Probabilidades so nmeros que variam de 0 a 1. Podem ser expressas por meio de porcentagens, de 0% a 100%. 
<180>
<p>
<R+>
<F->
Exerccios

  Para os exerccios 46 e 47  necessrio que voc faa uma pesquisa na sua classe. 

46. Em uma folha avulsa, anote estes dados a respeito dos alunos da sua classe: 
 nmero de alunos; 
 nmero de meninas; 
 nmero de canhotos; 
 nmero de alunos cujos nomes comeam pela letra A; 
 nmero de alunos cujos nomes comeam pela letra Q. 
  Se for realizado um sorteio, qual a probabilidade de que seja sorteado(a): 
a) uma menina? 
b) um canhoto? 
c) algum cujo nome comea por A? 
d) algum cujo nome comea por Q? 
<p>
47. Na mesma folha avulsa, reproduza as tabelas a seguir e complete com dados obtidos na pesquisa. 
<F+>
<R->

   !:::::::::::::::::::::::
   l nmero de _ frequncia _
   l irmos    _            _
   r:::::::::::w::::::::::::w
   l 0        _ '''        _
   l 1        _ '''        _
   l '''       _ '''        _
   h:::::::::::j::::::::::::j

   !::::::::::::::::::::::
   l idade    _ frequncia _
   l (anos) _            _
   r::::::::::w::::::::::::w
   l 13      _ '''        _
   l 14      _ '''        _
   l '''      _ '''        _
   h::::::::::j::::::::::::j

<R+>
<F->
a) Calcule a mdia do nmero de irmos por aluno da sua classe.  
<p>
b) Calcule a mdia de idade dos seus colegas. Qual  a idade modal?  
c) Em um sorteio, qual a probabilidade de ser sorteado: 
 um filho nico? 
 um aluno com mais irmos do que a mdia da classe? 
 um aluno com idade acima da mdia da classe? 
 um aluno com a idade modal? 
 um aluno que tenha dois irmos? 
 um aluno com mais de oito irmos? 
 um aluno de 15 anos? 
 um aluno com menos de 20 anos? 

48. Responda: 
a) No sorteio de um nmero de 1 a 100: 
 qual a probabilidade de sair um nmero mltiplo de 5?  
 qual a probabilidade de no sair um mltiplo de 5?  
b) Qual  a soma das probabilidades calculadas em a)?  
<p>
c) Se a probabilidade de ocorrer um fato  *p*, qual  a probabilidade de no ocorrer o fato?  
d) Qual  a probabilidade de sair um mltiplo de 3 no sorteio de 1 a 100?  
e) Qual  a probabilidade de sair um nmero que no  divisvel por 3?  
<181>

49. O servio meteorolgico anuncia a previso do tempo para amanh: "Na regio Sul, 70% de probabilidade de chover, no Nordeste, tempo bom, sol, sem possibilidade de chuva". 
  Considerando verdadeiras as previses, qual a probabilidade de: 
a) no chover na regio Sul? 
b) no chover no Nordeste?  

50. O dono de uma lanchonete pesquisou por vrios dias a sua clientela. Agora j sabe: 70% colocam mostarda no lanche, 50% colocam *ketchup* e 30% colocam ambos os molhos. Qual a probabilidade de que um cliente, escolhido ao acaso, no coloque molho algum? E de que coloque apenas um dos molhos? 

51. Responda: 
a) Um casal pretende ter dois filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos, qual a probabilidade de que venha a ter duas meninas? 
b) Considerando todas as famlias de quatro pessoas -- pai, me e dois filhos -- qual  
  aproximadamente a porcentagem daquelas formadas por pai, me e duas filhas? 

52. Um prmio ser sorteado entre os alunos das trs classes do 9 ano. 
<F+>
<R->
<p>
 :::::::::::::::::::::::::::::::
        _ 9 A _ 9 B _ 9 C 
 ::::::::w::::::::w::::::::w:::::::
 meninos _ 15    _ 18    _ 17    
 meninas _ 22    _ 20    _ 23    
 ::::::::j::::::::j::::::::j:::::::

<R+>
<F->
  Calcule a probabilidade de que o ganhador seja: 
a) um aluno do 9 A, menino ou menina; 
b) um menino do 9 B; 
c) uma menina. 

53. Tendo sido apurados os votos de uma eleio para prefeito, o candidato Joaquim Igncio 
  recebeu 63% de todos os votos. Qual a probabilidade de que ele no vena a eleio? 
<F+>
<R->
<182>

Matemtica em notcia

  Leia os dados da reportagem, analise os grficos e responda s perguntas sobre a regio metropolitana de So Paulo:

<R+>
Uso dirio de bicicleta dobra em dez anos 
<R->

  Apesar do crescimento, ndice representa apenas 0,78% do total; a maior parte das viagens dirias no motorizadas  feita a p. 

Da reportagem local 

  As viagens dirias de bicicleta mais que dobraram em dez anos, segundo os dados da nova pesquisa OD (origem/destino) divulga-
dos ontem pelo Metr. Em 2007, 345 mil viagens por dia eram feitas de bicicleta, contra 160 mil em 1997. 

Viagens a p 

  Todos os dias, 12,3 milhes de viagens so feitas a p na regio metropolitana. Porm, esse tipo de deslocamento, que em 1997 representava 34,4% do total, caiu para 32,9% em 2007 -- em valores absolutos, porm, o nmero cresceu 13,8%, pouco menos que o crescimento populacional `(15%`). 

<R+>
<F->
_`[{grfico de barras "Transporte na regio metropolitana de SP" mostrando que as viagens em trens, nibus e metrs cresceram 31,43% entre 1997 e 2007 
  (em porcentagem), contedo a seguir_`]
Legenda:
A -- populao;
B -- total de viagens;
C -- viagens coletivo;
D -- viagens individual;
E -- viagens a p.
<F+>
<R->

<F->
31,43 pcccccccccc
       l          
       l          
20,00 pcccccc  
15,00 pcc    
13,80 pcccccccccccc
13,30 pcccccccc    
       pccccccccccccccccccccc
          A  B  C  D  E
<F+>

<R+>
<F->
_`[{grfico de linhas "Transporte na regio metropolitana de SP" mostrando a variao geral em milhes, adaptado, contedo a seguir_`]
Carros -- 1967: 0,5; 2007: 3,5;
Matrculas escolares -- 1967: 1,1; 2007: 5,2;
Empregos (*) -- 1977: 4; 2007: 8,8;
Populao -- 1967: 7,1; 2007: 19,3.

(*) dados de 1967 indisponveis

_`[{grfico de barras "Transporte na regio metropolitana de SP" mostrando as viagens dirias de bicicleta em milhes, contedo a seguir_`]
<F+>
<R->
<p>
<F->
      l
0,34 pccccccccccccccccccccccc
      l                       
      l                       
      l                       
0,16 pcccccccccccccccc     
      l                     
0,11 pccccccccc          
      l                   
0,07 pcc               
      l                 
      l                 
      pccccccccccccccccccccccccccc
        1977  1987  1997  2007

(*Folha de S. Paulo*, 
  6/9/2008.) 
<F+>
<R+>
<F->

a) Qual era a populao em 2007?
b) Qual foi a taxa porcentual de crescimento populacional entre 1997 e 2007? 
c) Qual era a populao em 1997? 
<p>
d) As 345 mil viagens dirias de bicicleta, em 2007, representam que porcentagem do total de viagens?
e) Qual era o total de viagens dirias em 2007? E em 1997? 
f) Qual era o total de viagens dirias a p em 2007? E em 1997? 
g) Qual o meio de transporte que teve maior aumento percentual de 1997 para 2007?
<R->
<F+>

<183>
Teste seu conhecimento

<F->
<R+>
  Enunciado referente aos testes de 1 a 5: 

  Foi perguntado a cada aluno quantas horas por dia assiste  TV. Com as respostas, elaborou-se o seguinte grfico: 
<R->
<F+>
<p>
<F->
n.o de l
alunos l 
6     pccccccc
5     pcccccccc
4     pcccc  
3     pc     
2     pccccc
1     l     
0     l     
       pcccccccccccccccccccccccccc
         1 2 3 4 5 n.o horas
<F+>

<R+>
<F->
1. Quantos alunos participaram da pesquisa? 
a) 5 
b) 12 
c) 16 
d) 20 

2. Em mdia, quantas horas por dia cada aluno assiste  TV? 
a) 2,75
b) 2,85 
c) 2,95 
d) 3,05 
<p>
3. Qual  a mediana do nmero de horas pesquisado? 
a) 3 
b) 3,5 
c) 4 
d) 6 

4. Qual  a moda? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 

5. Representando os dados num grfico de setores, quantos graus ter o setor correspondente a 5 horas? 
a) 30
b) 36
c) 60  
d) 72 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

<p>
6. Quantos so os nmeros mpares de trs algarismos distintos? 
a) 450 
b) 360
c) 324 
d) 320 

7. Analise os dados e o grfico publicado no jornal *O Estado de S. Paulo*, de 3/9/2008. 

_`[{grfico de barras "Participao por idade no Estado de So Paulo", apresentado em porcentagem de motoristas, nos anos de 2003 e 2007, adaptado na forma de tabela, contedo a seguir_`]
<F+>
<R->
<p>
   !:::::::::::::::::::::::::::
   l idade       _ 2003 _ 2007 _
   r:::::::::::::w:::::::w:::::::w
   l 18 a 21   _ 7,8  _ 6,0  _
   l 22 a 25   _ 13,0 _ 10,4 _
   l 26 a 30   _ 15,2 _ 14,9 _
   l 31 a 40   _ 20,5 _ 23,6 _
   l 41 a 50   _ 22,5 _ 21,3 _
   l 51 a 60   _ 12,8 _ 14,0 _
   l 61 a 70   _ 5,7  _ 6,5  _
   l 71 a 80   _ 2,2  _ 2,7  _
   l mais de 80 _ 0,3  _ 0,6  _
   h:::::::::::::j:::::::j:::::::j

<R+>
  A quantidade de motoristas com mais de 80 anos passou de 33 mil para 90 mil em quatro anos.
  Total de motoristas em 2003: 10,5 milhes e em 2007: 14,6 milhes.
<R->
<F+>

Fonte: *INFOGRFICO/AE* 

<R+>
<F->
  De 2003 para 2007, a quantidade de motoristas com mais de 80 anos aumentou aproximadamente 170%. Na faixa de 18 a 
<p>
  21 anos, a quantidade de motoristas: 
a) diminuiu, aproximadamente, 1,8%; 
b) diminuiu, aproximadamente, 1%; 
c) aumentou, aproximadamente, 1%; 
d) aumentou, aproximadamente, 7%. 

8. (Enem-MEC) O grfico 
  _`[no representado_`] mostra a rea desmatada da Amaznia, em km2, a cada ano, no perodo de 1988 a 2008. As informaes do grfico indicam que: 
a) o maior desmatamento ocorreu em 2004. 
b) a rea desmatada foi menor em 1997 que em 2007. 
c) a rea desmatada a cada ano manteve-se constante entre 1998 e 2001. 
<p>
d) a rea desmatada por ano foi maior entre 1994 e 1995 que entre 1997 e 1998. 
e) o total de rea desmatada em 1992, 1993 e 1994  maior que 60.000 km2. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<184>
<R+>
<F->
9. (Enem-MEC) O jogo da velha  um jogo popular, originado na Inglaterra. O nome "velha" surgiu do fato de esse jogo ser praticado,  poca em que foi criado, por senhoras idosas que tinham dificuldades de viso e no conseguiam mais bordar. Esse jogo consiste na disputa de dois adversrios que, em um tabuleiro 3 { 3, devem conseguir alinhar verticalmente, horizontalmente ou na diagonal, 3 peas de formato idntico. Cada jogador, aps escolher o formato 
  da pea com a qual ir jogar, coloca uma pea por vez, em qualquer casa do tabuleiro, e passa a vez para o adversrio. Vence o primeiro que alinhar 
  3 peas. No tabuleiro representado a seguir, esto registradas as jogadas de dois adversrios em um dado momento. Observe que uma das peas tem formato de crculo e a outra tem 
  a forma de um xis. Considere as regras do jogo da velha e o fato de que, neste momento,  a vez do jogador que utiliza os crculos. Para garantir a vitria na 
  sua prxima jogada, esse jogador pode posicionar a pea no tabuleiro de: 

_`[{o crculo foi substitudo, em braille por o_`]
<F+>
<R->

<F->
    _ x  _ 
 :::w::::w:::
 o _ o _ x 
 :::w::::w:::
    _    _ 
<F+>

<F+>
<R+>
<F->
a) uma s maneira. 
b) duas maneiras distintas. 
c) trs maneiras distintas. 
d) quatro maneiras distintas. 
e) cinco maneiras distintas. 

10. Uma empresa vai sortear uma viagem como prmio para um dos 
  quatro funcionrios mais produtivos do ano. Respeitando as produtividades, Cludio e Luiz tm chances iguais de ganhar, Carlos deve ter 50% a mais de chance que Luiz, e Maurcio deve ter o dobro da chance de Cludio. Qual a probabilidade de Carlos ganhar?
a) 1~4
b) 7~25
c) 3~10
d) 3~11
<F+>
<R->
<p>
Desafios

O melhor de Calvin 

<R+>
<F->
_`[{tirinha "O melhor de Calvin" em quatro quadrinhos, descrio a seguir_`]
1) Bem agasalhado e com uma lancheira no cho, Calvin fala para o tigre Haroldo: "Deve haver alguma lei para no se ir  escola nos dias em que h neve bastante para brincar."
2) O menino continua: "Logicamente, tambm no acho que deva haver aula no outono, nem no vero... ou na primavera..." 
3) Ele continua a falar enquanto o tigre o observa: "Acho que posso ir  escola um dia em novembro e um em maro."
4) O tigre fala: "Na segunda srie, voc j poderia levar um limpador de dentadura na 
<p>
  lancheira." Calvin exclama: "E antes da terceira srie j poderia me aposentar!"

(*O Estado de S. Paulo*, 20/11/1999.) 
<F+>
<R->

  De quantos modos Calvin poderia escolher os dois dias do ano, um em novembro e um em maro, para 
ir  escola? (J que ele no faz muita questo de estudar, pode escolher at domingo...) 

Aleatoriamente 

<R+>
<F->
_`[{tirinha "Aleatoriamente" em trs quadrinhos, descrio a seguir_`]
1) Um homem l uma informao fixada na parte inferior de uma pintura abstrata: "A obra, carregada de angstia e desespero, revela no menos que a paixo devastadora do autor pela amante que partira..."
<p>
2) Outro homem fala: "No  genial? E pensar que foi um chimpanz quem fez..." O primeiro diz: "Pra mim so s pinceladas feitas aleatoriamente!"
3) O segundo conclui: "Estou me referindo ao texto..."
<F+>
<R->

  Todos sabemos que chimpanzs no escrevem. Mas, supondo que o chimpanz Tico tenha essa habilidade e seja capaz de formar aleatoriamente uma sucesso com as quatro letras de seu nome, qual a probabilidade de que o escreva corretamente?  

               oooooooooooo
<p>
<185>
Unidade 6 -- Polgonos e 
  circunferncia 

Captulo 17- rea do retngulo, 
  do quadrado e do paralelogramo
  
O gramado do campo 

  A direo do Colgio do Conhecimento quer trocar a grama de um campo de futebol que mede 70 m 120 m. Qual ser a rea de grama necessria? 

rea 

  O fato  que um retngulo  uma superfcie plana. A superfcie plana ocupa uma certa poro do plano, que pode ser medida. A medida da extenso ocupada por uma superfcie plana  chamada rea da superfcie, que expressa o nmero de vezes que a unidade-padro de rea cabe na superfcie. 
<p>
  Para medir uma superfcie plana  usada uma das unidades de rea. As principais unidades de rea so: 
<R+>
 centmetro quadrado `(cm2`), que  um quadrado com lados de 1 centmetro; 
 metro quadrado `(m2`), que  um quadrado com lados de 1 metro; 
 quilmetro quadrado `(km2`), que  um quadrado com lados de 1 quilmetro. 
<R->
  Observe: se um retngulo tem 4 cm de base e 3 cm de altura, ento pode ser dividido em 12 quadrados com lados de 1 cm. Ou, a unidade cm2 cabe 12 vezes no retngulo. Portanto, a rea do retngulo  12 cm2. 

<F->
       1 cm     
      !:::::
      l     _     
1 cm l     _     
      l     _     
      h:::::j
      1 cm2
<F+>
<p>
<F->
!::::::::::::::::::::
l     _     _     _     _
l     _     _     _     _
l     _     _     _     _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l     _     _     _     _
l     _cm2_     _     _
l     _     _     _     _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l     _     _     _     _
l     _     _     _     _
l     _     _     _     _
h:::::j:::::j:::::j:::::j
        12 cm2
<F+>

<F+>
<187>
  Quando dizemos "rea do retngulo", estamos nos referindo  rea da superfcie retangular ou regio retangular, que  constituda pelo retngulo e seu interior. O mesmo dizemos para outros polgonos. Assim, rea do quadrado  a rea da superfcie ou regio quadrada, rea de um tringulo  a rea da superfcie ou regio triangular, etc. 
<p>
  No  usual medir diretamente a rea de uma superfcie usando concretamente a unidade de medida de rea. Quando queremos saber a rea de um terreno, no pegamos 
uma placa de 1 m2 e verificamos quantas vezes ela cabe no terreno. Do mesmo modo, quando desejamos medir a superfcie de uma folha de caderno, no pegamos uma plaquinha de 1 cm2 e verificamos quantas vezes ela cabe na folha. 
  Para medir uma superfcie plana com forma simples, geralmente se usa uma frmula matemtica. Nas pginas seguintes, voc encontrar algumas dessas frmulas. E se a superfcie a ser medida tiver um contorno mais complicado? Tambm veremos muitos exemplos mais adiante. 
<p>
rea do retngulo 

<F->
  !::::::::::
  l          _
h l    A    _
  l          _
  h::::::::::j
        b
<F+>

  A rea do retngulo  igual ao produto da medida da base pela altura. 
  Indicamos: rea =A, base =b, altura =h. 
  Temos: 
 A=bh 
  A base e a altura devem ter medidas na mesma unidade. Se essa unidade for o centmetro, a rea ser dada em centmetros quadrados; se a unidade for o metro, a rea ser dada em metros quadrados, etc. 
  Agora podemos responder  pergunta do problema proposto no incio do captulo. O campo de futebol cuja rea queremos calcular  um retngulo de base (ou comprimento) 120 m e altura (ou largura) 70 m. Temos: 
 b=120 e h=70 :> A=bh=120
  70=8.400 
   Portanto, a rea do campo de futebol a ser coberta com grama  de 8.400 m2. 

rea do quadrado 
      
<F->
   !:::::
   l     _     
1 l     _     
   l     _     
   h:::::j
      l 
<F+>

  Vamos representar por *l* o lado do quadrado, como mostra a figura. 
  Aplicando a frmula da rea do retngulo, para b=l e h=l, temos: 
 A=bh=ll=l2 
  Logo, a rea do quadrado  igual ao quadrado da medida do lado.  
 A=l2 
  Vejamos um exemplo.
  Um quadrado de lado 2,5 cm tem rea: 
 A=l2=`(2,5`)2=6,25 
  Portanto, a rea  6,25 cm2. 
<188>

Exerccios

<R+>
1. Determine a rea em cada um dos itens a seguir. 
 a) quadrado

<R->
  !:::::
  l     _
  l     _
  l     _
  h:::::j
   4,2 m

<F->
b) retngulo

  !:::::::::
  l         _
  l         _ 3 m
  l         _
  h:::::::::j
    5,1 m
<F+>
<p>
c) quadrado 
 
  !:::::
  l8 m_
  l    _
  l    _
  l    _
  h:::::j

d) retngulo

  !:::::::::::
  la, 17 m  _
  l    a,    _ 8 m
  l        a,_
  h:::::::::::j

<R+>
2. Determine a rea do retngulo nos casos a seguir considerando o metro como unidade de medida. 
<R->
a)
<F->
  !:::::::::::
  la,        _
  l    a,    _ 
  l   30} a,_
  h:::::::::::j
       12

b)
  !:::::::::
  l 18  ',a_
  l   ',a   _ 
  l',a  60}_
  h:::::::::j
<F+>

<R+>
3. Um bloco retangular de dimenses 3 m, 4 m e 5 m, ao ser 
  planificado, resulta na figura a seguir. 
<R->

<F->
          $::::
          _    _
          _    _
  !::::::w::::w::
  l    _  _    _  _
  l    _  _    _  _
  l    _  _    _  _
  h::::j::w::::w::j
          _    _
          _    _
          ::::j
<F+>

<R+>
<F->
  Qual  a rea dessa superfcie? 

4. Os lados de um terreno retangular esto na razo 23, e a rea  150 m2. Calcule o permetro do terreno. 
5. A base de um retngulo  2 cm maior do que a altura, e a rea  48 cm2. Calcule as dimenses do retngulo.  
<189>

6. Calcule a rea da superfcie colorida em cada item. 

_`[{a parte colorida foi representada por **_`]
<F+>
<R->
<F->

a)
         O
         
        
       
      
  B --------u C
      10 cm 
            
           
          
         
         U
<p>
b)
         O               B
         p
         l_
         lEL_
         lpccccccc_
         ll       __
         ll 4 cm __
  10 cm ll       __
         ll       __
         lv-------#_ 
         lDI_
         l,,,,,,,,,,,w::
         lk          _ 2 cm
         vu----------#--
         C     ::::::::::oA
                   5 cm  
<F+>
 
<R+>
<F->
7. Na figura _`[no representada_`], temos dois quadrados. Determine a rea do maior deles. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
8. Calcule a rea de um terreno quadrado que est totalmente cercado por um muro de 96 m de extenso. 

9. Calcule a rea da superfcie colorida em cada um dos casos. 

_`[{a parte colorida foi representada por **_`]

a) {e{f{g{h  retngulo. 

<F+>
<R->
<F->
  H     E
  pccccccc
  l     _
  l    _
  l   _
  l   _ 50 cm
  l   _
  l    _
  l     _
  v-------#
  G     F
  :::::::o
   30 cm
<F+>
<p>
b) {i{j{k{l  retngulo. 
<F->
<R+>
<F->
    
       10 cm           L           
     K ,,$:::::::::::;~~ 
 10 cm k.#v{ _
        l_ _   
        l_ _ 65 cm  
        l_ _  
        r:;$:w _
        k.v-----------#{ _
        J    80 cm   I
<F+>
<R->
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
10. A rea de um retngulo  40 cm2, e sua base excede em 6 cm sua altura. Determine a altura do retngulo.  
11. A base de um retngulo  o dobro de sua altura. Determine suas dimenses, sendo 72 cm2 sua rea.  
<p>
12. O permetro de um retngulo  42 cm, e a base mede 5 cm a mais do que a altura. Calcule a rea do retngulo.  
13. Se aumentarmos em 3 cm os lados de um quadrado, sua rea aumentar em 261 cm2. Quanto mede cada lado do quadrado?  
14. Qual  o aumento porcentual na rea de um retngulo quando sua base  aumentada em 30% e sua altura em 40%?  
<F+>
<R->
<190>

Equivalncia de figuras 

  Observe as figuras planas a seguir, montadas com 12 cartes quadrados, cada um de lado 1 cm. 

<F->
_cccc   _cccccc
_cccc   _cccccc
_cccc   ^cccccccccccc
^cccccccc
<p>
  _cc     _cc
_cccc   _cc
_cccc   _cccc
^ccccc   _cccc
  ^cccc     ^cccccccc

_ccccc  _ccc
_ccccccc  _ccccc
_ccccc  _c   _c
^cccccccccc  _c   _c
             ^cccc            
               ^cccccc
           
<F+>
  Nesse conjunto no h duas figuras iguais. Cada figura tem forma diferente das demais, mas todas tm a mesma rea (12 cm2) e, por isso, so figuras equivalentes entre si. 

  Dizemos que as figuras so equivalentes quando possuem reas iguais. 
<p>
  As figuras anteriores so equivalentes porque todas so compostas por 12 cartes iguais. Dizemos que essas figuras so equicompostas (compostas por partes iguais em igual quantidade).

<R+>
_`[{apontando para um quadro com 6 figuras diferentes, uma professora fala: "Veja agora outro exemplo. Temos trs cartes de cores diferentes com as seguintes caractersticas."_`]
<191>

 2 cartes em forma de tringulo retngulo com catetos de 1,5 cm; 
 1 carto em forma de retngulo de 2 cm por 1,5 cm.
<R->
  Com esses cartes, montamos trs figuras equivalentes: 

<F-> 
   pccccccccccm
   l       _  
   l       _ 
---v-------#
<p>
pccmpccccccc
l  l       _
l  l       _
---v-------#

   pccccccc
   l       _  
   l       _  
---v-------#---u
<F+>

  Essas figuras so equivalentes porque so equicompostas (compostas por trs partes, duas a duas iguais). 

<R+>
_`[{apontando para um quadro com algumas figuras, uma professora fala: "E qual  a rea de cada uma? Algum pode perguntar."_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Para responder, basta olhar a segunda figura:  um retngulo de 3,5 cm por 1,5 cm, que equivale  
<p>
a 5,25 cm2. Portanto, cada uma dessas figuras tem 5,25 cm2 de rea. 
  A seguir, vamos trabalhar muitas vezes com a ideia de calcular a rea de uma figura complexa, transformando-a em uma figura equivalente mais simples. 

Desafios 

Quebrando a cabea 

  Um matemtico provou que um polgono pode ser transformado em outro polgono de igual rea, cortando-o em um nmero finito de partes. Agora  a sua vez de comprovar essa tese. As figuras 
 _`[no representadas_`] so peas que foram cortadas de um tringulo equiltero. 
  Copie as figuras em cartolina colorida, recorte-as e monte com elas um tringulo equiltero e um quadrado. 
<p>
Corte e desloque 

  Um retngulo A tem dimenses 10 cm e 3 cm. Um retngulo B mede 15 cm por 2 cm. Como se deve cortar A em duas peas de medidas iguais, de maneira que, justapostas, recubram completamente B? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<192>
rea do paralelogramo 

  Vamos representar por *b* a base do paralelogramo e por *h* sua altura. 

<F->
     D       C
    pcccccccccm
    l        
    lh      
  El_-    
----v-----
A   b   B
<p>    
     D       C
    pccccccccc
    l        _
    lh       _ h
  _-l        _
....v--------#
A   E   B  F

D       C
pccccccccc
l         _
l         _ h
l         _
v---------#
E   b   F
<F+>

  Observemos que a rea do paralelogramo {a{b{c{d  igual  rea do retngulo {e{f{c{d, porque: 
 rea do paralelogramo {a{b{c{d= 
  = rea do tringulo {a{e{d+ rea 
  do trapzio {e{b{c{d.
  Implica que:
 rea do paralelogramo {a{b{c{d= 
  = rea do retngulo {e{f{c{d.
<p>
  Segue, portanto, que a rea do paralelogramo  igual ao produto da medida da base pela medida da altura: 
 A=bh 
  Vejamos um exemplo. 
  A rea de um paralelogramo de base b=8 cm e altura h=4 cm : 
 A=bh=84=32 
  Portanto, a rea desse paralelogramo  32 cm2. 

Exerccios
<R+>
<F->

_`[{para os exerccios 15 a 23, pea orientao ao professor_`]

15. Os tringulos usados para compor as figuras _`[no representadas_`] so todos congruentes 
  entre si. Quais so as figuras equivalentes?  
<193>
16. Os retngulos usados para compor as figuras _`[no representadas_`] so todos congruentes entre si. Quais so as figuras equivalentes?  
<p>
17. Chamando de *u* a rea da pea triangular usada para compor as figuras do exerccio 15., qual  a rea de cada figura? 
18. Desenhe uma figura que seja equivalente  figura 1 e diferente das demais figuras do exerccio 15. 

19. Calcule a rea dos paralelogramos. 
<F+>
<R->
<F->
a)
       ccccccccccccx
                  {
                  {
                  { 3 cm
                  {
  ------------''''{
  :::::::::::o
    6 cm
<p>
b)
       mcccccccccccm
       k           
       k            
       k         5 m
       k_-     
  -----u------
   3 m   4 m

c)
       ccccccccccccm
                   
                    
                 10 m
    60       
  ------------
      18 m

d)
     xccccccccccccm
     a,' 6 m    
    30a,'       
  ---------u-- 
      8 m
<p>
e)             6 cm
           cccccccccccx
                     {
                     {  
  5 cm              {
                   _-{
      -----------''''{
           10 cm

f)
        xccccccccccc
        k           
        k              
  8 cm k              10 cm
        k_-            
        k''''-----------u
              20 cm
<F+>
<F+>
<194>

<R+>
<F->
20. Calcule as reas e verifique que o paralelogramo {c{i{d{a e o retngulo {c{i{p{o _`[no representados_`] so equivalentes. 
21. Calcule o lado de um quadrado que  equivalente ao retngulo e ao paralelogramo do exerccio anterior. 
<p>
22. Verifique, por meio do clculo de reas, que os paralelogramos {c{o{a{r, {c{o{l{a e {c{o{m{i _`[no representados_`] so equivalentes entre si.  
23. Calcule o lado de um quadrado que  equivalente aos paralelogramos do exerccio anterior. 
<F+>
<R->

Matemtica em notcia

Matemtica

O tabagismo em nmeros

<R+>
<F->
 A fumaa do cigarro tem cerca de 4.720 substncias txicas. Alm das mais conhecidas, como nicotina, alcatro e monxido de carbono, h substncias radioativas, como polnio 210 e cdmio.
 A prevalncia de fumantes maiores de 15 anos diminui de 32% para 16% de 1989 para 2007 no Brasil.
<p>
 No pas, 200 mil mortes anuais so causadas pelo tabagismo.

Comparado a quem no fuma, um 
  fumante tem um risco:

 10 vezes maior de adoecer de cncer de pulmo.
 5 vezes maior de sofrer infarto.
 5 vezes maior de ter bronquite crnica e enfisema pulmonar.
 2 vezes maior de sofrer derrame cerebral.
<195>
 Cerca de 8% dos gastos com internao e quimioterapia no SUS so atribudos a doenas relacionadas ao consumo de tabaco. O prejuzo equivale a R$338,6 milhes.
 O cigarro brasileiro  o 6 mais barato do mundo; o baixo preo estimula o consumo e facilita o acesso de crianas e adolescentes.
<p>
 Segundo as estimativas da OMS, o tabagismo  responsvel por 5 milhes de mortes ao ano.
 A OMS estima que 1,2 bilho de pessoas sejam fumantes.
 Um estudo da USP mostrou que 23,8% das crianas de 0 a 5 anos estudadas tinham nicotina na urina; as concentraes mais elevadas foram naquelas que moravam com adultos fumantes.
 Aproximadamente 47% dos homens e 12% das mulheres so fumantes no mundo.

Se voc parar de fumar agora...

 Aps 20 minutos, sua presso sangunea e a pulsao voltam ao normal.
 Aps 2 horas, no tem mais nicotina no seu sangue.
 Aps 8 horas, o nvel de oxignio no sangue se normaliza.
<p>
 Aps 2 dias, seu olfato e seu paladar j funcionam melhor.
 Aps 3 semanas, a respirao e a circulao melhoram.
 Aps 5 a 10 anos, o risco de sofrer infarto se torna igual ao de quem nunca fumou.

Pelo mundo

 Na semana passada, o fumo de tabaco foi proibido em restaurantes e cafs da Holanda; o 
  consumo de maconha, no entanto, continua liberado.
 Segundo um novo estudo, a proibio ao fumo em espaos pblicos na Inglaterra, um ano atrs, fez com que 400 mil pessoas parassem de fumar. Os pesquisadores dizem que isso pode 
<p>
  salvar potencialmente ao menos 40 mil vidas nos prximos dez anos.

Fontes: Inca (Instituto 
  Nacional de Cncer); 
  Hospital Universitrio da USP (Universidade de So Paulo).

(*Folha de S. Paulo*, 10/7/2008.)

  Responda s perguntas e resolva o problema a seguir, formulado 
  com base nas informaes desta reportagem: 
a) O que representa a sigla OMS? 
b) Quantas mortes por ano so causadas pelo tabagismo no Brasil? E no mundo?
c) Suponha que no mundo a populao masculina seja igual  feminina. Considerando que 47% dos homens e 12,7% das mulheres fumam e que isso corresponde a 1,2 bilho de pessoas, estime a quantidade de homens e de mulheres no mundo. 
d) Como atualmente a populao mundial  de 6 bilhes de pessoas, d uma explicao para a quantidade calculada no item anterior.   
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<196>
<P>
Captulo 18- rea do tringulo, 
  do losango e do trapzio

rea do tringulo 

Frmula geral 

  Podemos considerar qualquer um dos trs lados como base do tringulo, que ser representada por *b*. A altura relativa  base ser indicada por *h*. 

<F->
    B
    #a,'
   {   a,'
   { h    a,'
   {_-       a,'
---------------u-
A       b      C
<F+>

  Notemos que os tringulos {a{b{c e {d{c{b so congruentes; logo, possuem reas iguais. Segue da que a rea do tringulo {a{b{c 
<p>
 igual  metade da rea do paralelogramo {a{b{d{c: 

<F->
    B                D
    ccmcccccccccccccccm
   {   a,'           
   { h    a,'       
   {_-       a,'   
---------------u-
A       b       C
<F+>

 rea do tringulo {a{b{c= rea do 
  paralelogramo {a{b{d{c~2=
  =?bh*~2

  Conclumos que a rea de um tringulo  igual ao produto da medida da base pela medida da altura dividido por dois: 
A=?bh*~2 
  Observe um exemplo. 
  A rea do tringulo desenhado a seguir : 
A=?bh*~2=?43*~2=6 
  Portanto, a rea desse tringulo  6 cm2. 

<F->
          #
         _ 
         _  
         _   
         _    
         _     
         _      
         _ 3 cm 
         _        
         __-       
---------#----------u
        4 cm
<F+>
<197>

O tringulo retngulo 

  Considerando a hipotenusa como base, a rea do tringulo  dada por: 

<F->
         w
       i { 
   b i   {   c
   i     { h 
 i       {    
--------------u
        a
<F+>

A=?ah*~2
<p> 
  Considerando um dos catetos como base, a altura  igual ao outro cateto. Assim, a rea de um tringulo retngulo  metade do produto das medidas dos catetos. 

<F->
  v
  l
  l       
  l       
c l    a
  l     
  l  i 
  li h  
  -------u
      b
<F+>

A=?bc*~2 

  Se os catetos de um tringulo retngulo medem 6 cm e 8 cm, ento a rea : 
 A=?bc*~2=?68*~2=24
  Portanto, a rea desse tringulo  24 cm2. 
<p>
O tringulo equiltero 

  Considere o tringulo equiltero de lado *l* e altura *h* a seguir. 

<F->
      
     _ 
     _  
 l   _ h  l
     _    
     __-   
-----#------u
       l
<F+>

  J vimos no Captulo 13- que a altura de um tringulo equiltero de lado *l*  h=l3~2. 
Assim, a rea do tringulo equiltero  dada por: 
 A=?bh*~2=?ll32*~2=
  =l23~2
  Portanto: 
 A=l23~4
<198>
<p>
Outras frmulas da rea do 
  tringulo 

<R+>
 Frmula de Heron -- permite calcular a rea A de um tringulo, conhecendo-se as medidas dos trs lados: *a*, *b*, *c*. 
 A=p`(p-a`)`(p-b`)`(p-c`) em que p=?a+b+c*~2  o semipermetro do tringulo. 
 Frmula baseada no raio *r* da circunferncia inscrita no tringulo _`[no representado_`] de semipermetro *p*. 
<R->
  Ligando cada vrtice do tringulo {p{q{r ao centro O da circunferncia, dividimos {p{q{r em 
trs tringulos -- {p{q{o, {q{r{o e {r{p{o (todos de altura *r*). Ento: 
 A{p{q{r=A{p{q{o+A{q{r{o+
  +A{r{p{o=?a.r*~2+?b.r*~2+
  +?c.r*~2+?a+b+c*~2.r=p.r
 A=p.r 
<p>
Exerccios

<R+>
24. Calcule a rea de cada um dos seguintes tringulos: 
<R->
<F->
a)
       #,'
      {  a,'
      {     a,'
      { 3 cm  a,'
      {_-         a,'
  ------------------u-
          6 cm

b)
         #,'
        {  a,'
        {     a,'
        {        a,'
        { 8 cm     a,'
        {              a,'
        {_-               a,'
  --------------------------u-
              14 cm
<p>
c)
          
           
            
  8 m        8 m
              
               
    ------------u
         8 m

d)
          
         { 
         {  
  6 m   {    35 m
         {    
         {_-   
    -----------u
    ::::o
     4 m
<p>
e)
              w
            i _
          i   _
        i     _ 8 m
      i       _
    i 30  _-_
  ------------#
 
f)
  v
  l
  l 
  l  
  l   
  l    
  l      62 cm
  l      
  l       
  l3 cm i
  l    i   
  l  i      
  li         
  ------------u
<p>
g)
            
           { 
           {  
  13 cm   {    
           { 12
           { cm  
      -----------u
           8 cm

h)
        a,'
       {   a,'
       {      a,' 10 cm
       {         a,'
       {            a,'
     _-{               a,'
  -----------------------u
   4 cm        6 cm
<p>
i)
         v
         l
         l 
         l  
         l   
  24 cm l    
         l     
         l      
         l_-     
         v--------u
           18 cm

<199>
j)
  r,'
  l  a,'
  l60 a,'
  l        a,' 12 m
  l           a,'
  l              a,'
  l_-               a,'
  v--------------------u-

<p>
k)
          
           
             213 m
  6 m        
              
     60      
    ------------u
   
l)
           
            
             
  16 m        
               
      45      
     ------------u
         18 m
<p>
m)
             a,'
            {   a,'
            {      a,'
213 m   {         a,' 10 m
            {            a,'
            {_-             a,'
       -----------------------u-
       :::::o
        4 m
<F+>

<R+>
25. Determine a rea do tringulo {a{b{c, em que {a{e=10 m, {a{d=8 m e {e{b=5 m.  
<R->
<F->

              B
              w
          Ei _
          w   _
        i _   _ 
      i   _   _
    i   _-_ _-_
  --------#---#
   A     D  C
<F+>

<R+>
<F->
26. Determine a rea de um tringulo retngulo, sabendo que 
<p>
  um dos catetos mede 10 cm e o ngulo agudo oposto a ele mede 30. 
27. Calcule a rea de um tringulo equiltero cujo permetro  30 m. 
28. Determine a rea de um tringulo equiltero cuja altura mede 6 m. 
29. Determine a rea de um tringulo issceles de permetro igual a 32 cm, sabendo que sua base excede em 2 cm cada um dos lados congruentes. 
30. Determine a rea de um tringulo issceles de permetro 36 m cuja altura relativa  base mede 12 m.  
31. Calcule a altura do tringulo equiltero de rea igual a 43 cm2. 
32. A rea de um tringulo retngulo issceles  8 cm2. Calcule o permetro do tringulo. 
<p>
33. Calcule a rea do terreno cuja planta  dada nesta figura.  
<F+>
<R->

<F->
          7 m
       !::::::::
       l        _
       l        _ 4 m
       l        _
  8 m l        _
       l        
       l       
       l      
       v-----
        4 m
<F+>

<200>
<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 34 a 37, pea orientao ao professor_`]

34. Calcule a rea da superfcie da figura _`[no representada_`].  

35. A base ^c?{a{b* de um tringulo {a{b{c _`[no representado_`], de base *b* e altura *h*, 
  foi dividida em quatro partes congruentes pelos pontos D, E e F. 
<p>
a) Calcule as reas dos tringulos {a{d{c, {a{e{c, {a{f{c e {a{b{c. 
b) Calcule a razo entre as reas do tringulo {c{d{e e do tringulo {a{b{c.  

36. Nos casos a seguir, determine a rea do tringulo colorido _`[no representado_`], em funo da rea S do tringulo {a{b{c _`[no representada_`], sabendo que os pontos assinalados em cada lado o dividem em partes iguais (congruentes). 
37. Verifique, por meio do clculo de reas, que os tringulos {a{b{c e {a{b{d _`[no representados_`] so equivalentes. Sabe-se que *r*  paralela a ~:,?{a{b*. 
38. Use a frmula de Heron para calcular a rea de um tringulo cujos lados medem 5 m, 7 m e 8 m. Em seguida, calcule a medida da maior altura desse tringulo. 
39. Use a frmula de Heron para calcular a rea de um tringulo cujos lados medem 10 m, 12 m e 14 m. Depois, calcule a medida da menor altura desse tringulo. 
<F+>
<R->

<201>
Outras formas de calcular reas 

  O fato de a rea de um tringulo depender apenas das medidas da base e da altura leva a alguns resultados notveis. 
  Suponhamos que um tringulo tenha base *b* e altura *h*. Sua rea ser A=bh~2. 
  Vamos traar uma reta *r* paralela  base pelo vrtice oposto a ela. 
  Se mantivermos a base *b* e fizermos o vrtice oposto a ela deslocar-se sobre *r*, obteremos tringulos com altura *h* e, portanto, com rea A=bh~2.
<p>
<F->
--------------- r
      
     k 
     k  
     k    
     k h  
     k_-   
-----u------u
      b
<F+>
 
  Esses tringulos _`[no representados_`] so equivalentes ao tringulo inicial. 
  Tambm podemos reduzir um quadriltero convexo a um tringulo equivalente a ele. Observe. 

Construo 7 

<R+>
<F->
_`[{as figuras da Construo 7 no foram representadas_`]

1- Partimos do quadriltero {a{b{c{d. 
2- Traamos uma diagonal (^c?{b{d*, por exemplo). O 
<p>
  quadriltero fica dividido em duas regies: 
{a{b{d e {b{c{d
<202>
3- Traamos por C a reta *r* paralela a ^c?{b{d* e chamamos de E o ponto em que *r* corta a reta ~:,?{a{d*. Unimos o ponto E ao ponto B formando o tringulo {b{e{d. 
4- Como os tringulos {b{c{d e {b{e{d so equivalentes, descartamos o tringulo {b{c{d. Obtemos o tringulo {a{b{e, equivalente ao quadriltero {a{b{c{d, pois: 
<F+>
<R->
 {a{b{d~?'{a{b{d e 
  {b{c{d~?'{b{e{d 
  :> {a{b{d+{b{c{d~?'{a{b{d+
  +{b{e{d
  Ou seja:
 {a{b{c{d~?'{a{b{e

~?' l-se: " equivalente a"

  Utilizando duas vezes a construo anterior, podemos transfor-
<p>
mar um pentgono convexo num tringulo, equivalente ao pentgono. 
  Temos, ento, um procedimento que permite transformar um polgono convexo de *n* lados em outro polgono convexo equivalente, com n-1 lados. 
  Usando vrias vezes esse procedimento, um polgono convexo de *n* lados pode ser convertido num tringulo equivalente a ele. A rea do tringulo (que pode ser obtida por uma frmula)  igual  rea do polgono inicial. 

rea do losango 

  Vamos representar por D a diagonal maior e por *d* a diagonal menor do losango. 
<p>
<F->
      ^^^^^^^^^
     {        _
     {        _
     {        _
     {        _
     {_-      _
.....{......u  _ d
     {        _
k    {     {  _
k    {     {  _
k    {     {  _
k    {     {  _
k    {     {  _
k     {
k            {
l::::::::::o_
      D     

<F+>
<203>
  A rea do losango  quatro vezes a rea do tringulo retngulo de catetos D~2 e d~2:
A=4?{d2d2*~2=
  =4?{dd*~8=?{dd*~2
  Logo, a rea do losango  igual ao produto das medidas das diagonais dividido por dois: 
A=?{dd*~2 
<p>
  Vejamos um exemplo. 
  A rea do losango cujas diagonais medem 3 m e 1,20 m : 
A=?{dd*~2=?31,20*~2=
  =1,80 
  Portanto, 1,80 m2  a rea procurada. 

rea do trapzio 

  Vamos representar as bases do trapzio por B e *b* e a altura por *h*. 

<F->
        b
     ccccc
    {      
    { h      
    {        
    {_-       
--------------u
        B
<F+>

  A rea do trapzio  igual  soma das reas dos dois tringu-
<p>
los, um de base {b e altura *h* e 
outro de base *b* e altura *h*: 
A=?{bh*~2+?bh*~2=
  =?{bh+bh*~2=?`(B+b`)h*~2
  Logo, a rea do trapzio  igual  soma das bases vezes a altura, dividida por dois: 
A=?`(B+b`)h*~2 
  A rea do trapzio de bases 6 cm e 4 cm e altura 3 cm : 
A=?`(B+b`)h*~2=
  =?`(6+4`)3*~2=?103*~2=
  =30~2=15 
  Portanto, 15 cm2  a rea desse trapzio. 
<204>

Exerccios

<R+>
40. Calcule a rea de cada losango _`[no representado_`].
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
41. Calcule a rea de cada trapzio: 
<R->
<F->
a)
           6 m
         ccccc
               
  5 m           
                 
                  
    ---------------u
          10 m

b)
           4 m
         cccc
             _
  5 m       _ 3 m
             _
           _-_
    ---------#
       8 m
<p>
c)
          3 m
         ccccc
        {      
  5 m  {        213 m
        {        
        {         
    --------------u
     3 m    

d)
           10 m
          ccccc
                
  13 m           13 m
                  
                   
     ---------------u
           20 m

e)
   10 m
  pcccccc
  l       
  l         17 m
  l_-       
  v----------u
      18 m
<p>
f)
   6 m
  pcccc
  l_-   
  l       122 m
  l_- 45}
  v--------u
        
g)
             cccccc
            120}   
  63 m            
                      
                       
        ----------------u
              22 m

h)
       3 m    6 m   3 m
       cccmccccccccccmcccm
  5 m    k          k  
          k          k 
          u----------u
               6 m
<F+>
<p>
<205>
<R+>
<F->
42. Determine a rea de um trapzio issceles com bases de 4 m e 16 m e permetro de 40 m. 
43. A altura de um trapzio issceles mede 33 m, a base maior, 14 m, e o permetro, 34 m. Determine a rea desse trapzio. 

_`[{para os exerccios 44 a 46, pea orientao ao professor_`]

44. Determine a rea do quadriltero da figura _`[no representada_`], dados: {a{b=12 m, {b{d=18 m e {c{d=122 m.
45. Determine a rea dos quadrilteros _`[no representados_`] nos casos a seguir. 
46. Calcule, em cada item, a rea da superfcie colorida 
  _`[no representada_`].
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<p>
<206>
Captulo 19- Polgonos 
  regulares 

rea do jardim 

  A Prefeitura quer fazer um jardim em uma praa que tem a forma de um hexgono regular, com 56 m de lado. Qual  a rea desse jardim? 
  Antes de responder a essa questo, vamos rever alguns pontos que j estudamos sobre polgonos. 

Polgonos simples e no simples 

  Lembrando o que j foi visto em anos anteriores, examinemos alguns polgonos _`[no representados_`].
  Um polgono  simples se quaisquer dois lados no consecutivos no tm ponto comum. Ao contrrio, se existem dois lados no consecutivos que tm um ponto comum, ento o polgono  chamado de no simples. 
<p>
  Portanto, dos exemplos anteriores: 
<R+>
 {a{b{c{d{e e {f{g{h{i{j so polgonos simples. 
 {k{l{m{n{o e {p{q{r{s{t so polgonos no simples. 
<R->
<207>

Polgonos convexos e cncavos

  Um polgono simples pode ser cncavo ou convexo. Um polgono  convexo se a reta que contm qualquer de seus lados deixa todos os demais lados no mesmo semiplano (em um dos dois semiplanos que ela determina). 
  Observe que o polgono {a{b{c{d{e _`[no representado_`]  um polgono convexo; ele est inteiramente contido no semiplano azul. 
  Ao contrrio, um polgono  cncavo se existe uma reta que contm um de seus lados e essa 
reta deixa parte dos demais lados em um semiplano determinado por ela e parte em outro. 
  Observe, por exemplo, o polgono {f{g{h{i{j _`[no representado_`]. 
  A reta ~:,?{f{j* deixa parte dos lados em um semiplano e parte em outro, ou seja, o polgono est contido em dois semiplanos diferentes. 
  Neste momento, interessa-nos o estudo dos polgonos convexos 
 _`[no representados_`].

Nmero de diagonais de um 
  polgono 

  Diagonal de um polgono  um segmento cujas extremidades so vrtices no consecutivos do polgono. Observe os polgonos _`[no representados_`] e suas diagonais indicadas em linhas tracejadas. 
<F->
<R+>
Quadriltero {a{b{c{d; diagonais :> ^c?{a{c* e ^c?{b{d* 
Pentgono {a{b{c{d{e; diagonais :> ^c?{a{d*, ^c?{a{c*, ^c?{b{d*, ^c?{b{e* e ^c?{c{e* 
Quadriltero cncavo {a{b{c{d;
  diagonais :> ^c?{a{c* e ^c?{b{d*
<R->
  Agora preste ateno nestas informaes sobre o nmero de diagonais de um polgono: 
<R+>
 Um tringulo no tem diagonal alguma. 
 Um quadriltero tem 2 (duas) diagonais.  
 Um pentgono tem 5 (cinco) diagonais. 
<R->
  Ento, quantas diagonais tem um polgono de *n* lados?  
  Para responder a essa pergunta, vamos chamar de {a1, A2, A3, ..., An os vrtices de um polgono de *n* lados. 
  Com extremidade em um dos vrtices do polgono (vrtice A1, por exemplo), h `(n-3`) diagonais, porque ligando A1 com cada um dos demais vrtices -- com exceo de A1, A2 e An -- obtemos diagonais.  
<208>
  Se temos `(n-3`) diagonais com extremidade em cada vrtice, ento com extremidades nos *n* vrtices teremos n`(n-3`) diagonais. 
<p>
  Nesse processo de contagem, cada diagonal  contada duas vezes, pois tem extremidades em dois vrtices. Por exemplo, a diagonal ^c?A1A3* (com extremidade em A1) e a diagonal ^c?A3A1* (com extremidade em A3) foram contadas como duas diagonais, quando, na realidade, so uma nica diagonal ^c?A1A3*=^c?A3A1*. 
  Concluindo, o nmero de diagonais, *d*, de um polgono com *n* lados : 
d=n`(n-3`)~2 

Soma dos ngulos internos de um 
  polgono 

  Observe na tabela a seguir como  calculada a soma Si das medidas dos ngulos internos dos polgonos convexos de 3, 4, 5 e 6 lados. 
<p>
<R+>
_`[{tabela adaptada. As figuras no foram representadas, contedo a seguir_`]
<R->
<F->
<R+>
Polgono: caractersticas; soma dos ngulos internos Si
Tringulo: 3 lados (1 tringulo); 180}
Quadriltero: 4 lados (2 tringulos); 2180}=360}
Pentgono: 5 lados (3 tringulos); 3180}=540}
Hexgono: 6 lados (4 tringulos); 4180}=720}
<R->
<F+>
<209>
  
  Qual  a soma Si das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo com *n* lados? 
  Nesse caso, procedemos assim: 
<R+>
 Traamos todas as diagonais que tm uma extremidade num mesmo vrtice do polgono. 
 Contamos o nmero de tringulos em que o polgono foi repartido por essas diagonais: 
 `(n-2`) tringulos 
<p>
 Calculamos a soma das medidas dos ngulos internos desses `(n-2`) tringulos: 
 `(n-2`).180 
 Como a soma das medidas dos ngulos internos dos `(n-2`) tringulos  igual  soma das medidas dos ngulos internos do polgono inicial, temos: 
 Si=`(n-2`).180 
<R->

Soma dos ngulos externos de um 
  polgono 

  Num polgono convexo, chama-se ngulo externo o ngulo formado por um lado com o prolongamento de um lado consecutivo. 
  Em cada vrtice (por exemplo: A1), o ngulo externo (e)  suplementar do ngulo interno (i) adjacente:
 e+i=180}
  Vamos calcular a soma de todos os ngulos internos e externos de um polgono convexo 
 A1A2A3...An, tomando em 
<p>
cada vrtice um ngulo interno (i) e um ngulo externo (e): 
 `(i1+e1`)+`(i2+e2`)+
  +`(i3+e3`)+...+`(in+en`)=
  =180}+180}+180}+...+180}=
  =n.180}
  Ento:
 `(i1+i2+i3+...+in`)+
  +`(e1+e2+e3+...+en`)=
  =n.180} 
  Como Si=`(n-2`).180, vem: 
 `(n-2`).180}+Se=n.180} 
 n.180-360+Se=n.180 
 Se=360
  Esse  um resultado surpreendente: a soma das medidas dos ngulos externos de um polgono convexo  360}, qualquer que seja o nmero de lados do polgono! 
<210>

Exerccios

<R+>
<F->
47. Cada vrtice de um decgono  extremidade de quantas diagonais desse polgono? Ao todo, quantas diagonais tem um decgono?  
<p>
48. Calcule o nmero de diagonais de um enegono.  
49. Calcule o nmero de diagonais de um polgono com 25 lados.  
50. Um polgono simples tem 44 diagonais. Qual  o nmero de lados desse polgono?  
51. Qual  a soma dos ngulos internos de um polgono convexo com 12 lados?  
52. Qual  a soma dos ngulos internos de um enegono?  
53. Qual  o polgono em que a soma dos ngulos internos  900?  

_`[{para os exerccios 54 e 55, pea orientao ao professor_`]

54. Qual  a soma dos ngulos internos do polgono _`[no representado_`]? 
55. Determine o valor de *x* nos itens a seguir _`[no representados_`].
<F+>
<R->
<p>
Polgono regular 

  Observe as caractersticas destes quadrilteros: 

<F->
         ~^a,'
      ~^      a,'
   ~^            a,'
~^                  a,' 
a,'                  ~^
   a,'            ~^
      a,'      ~^
         a,'~^

losango: 
 lados congruentes; 
 equiltero. 

!:::::::::::::
l_-         _-_
l             _
l             _
l             _
l_-         _-_
h:::::::::::::j
<p>
retngulo: 
 ngulos congruentes; 
 equingulo. 

!::::::
l_-  _-_
l      _
l      _
l_-  _-_
h::::::j
<F+>

<R+>
quadrado: 
 lados congruentes e ngulos congruentes; 
 equiltero e equingulo. 
<R->
<211>

  Dos trs quadrilteros, s o quadrado tem lados congruentes e ngulos congruentes. Por isso ele  chamado quadriltero regular. 
  Chama-se polgono regular o polgono convexo que tem todos os lados congruentes e todos os ngulos internos congruentes. 
<p>
  Observe estes exemplos de polgonos regulares: 

com 3 lados
<F->
             
           
          
             
            
          
              
------------u
<F+>

<R+>
tringulo regular (tringulo equiltero)
<R->

com 4 lados

<F->
fccccc
l     _
l     _
l     _
v-----#
<F+>

quadriltero regular
  (quadrado)
<p>
com 5 lados

<F->
    .
    
     
      
       
       
       
  ---
<F+>

pentgono regular

com 6 lados
<F->

  cccc
        
         
                
             
  ----      

<F+>
hexgono regular 

  Um polgono regular  equiltero e equingulo. 
<p>
Polgonos inscritveis em uma 
  circunferncia 

  Quando uma circunferncia contm todos os vrtices de um polgono, dizemos que o polgono  inscritvel nessa circunferncia. Nesse caso, a circunferncia est circunscrita ao polgono. 
  Observe os exemplos a seguir _`[no representados_`]:
<R+>
<F->
 O tringulo tem os trs vrtices na circunferncia, ou seja, o tringulo est inscrito na circunferncia. 
 O centro da circunferncia dista igualmente dos trs vrtices do tringulo. Portanto, o ponto O  a interseo das mediatrizes do tringulo. 
 O quadriltero tem os quatro vrtices na circunferncia: o quadriltero est inscrito na circunferncia. 
 O centro da circunferncia dista igualmente dos quatro vrtices do quadriltero. 
 O pentgono tem os cinco vrtices na circunferncia. Portanto, o pentgono est inscrito na circunferncia. 
 O centro da circunferncia dista igualmente dos cinco vrtices do pentgono. 
<F+>
<R->
<212>
  Podemos notar que: 

  Um polgono  inscritvel somente se existe um ponto O igualmente distante de todos os vrtices do polgono. 

  Nem todos os polgonos so inscritveis. Os polgonos inscritveis mais importantes so: 
<R+>
 os tringulos em geral, porque todo tringulo tem um ponto O (circuncentro) igualmente distante dos trs vrtices; 
 alguns quadrilteros (aqueles em que os ngulos opostos so suplementares); 
 os polgonos regulares com qualquer nmero de lados. 
<R->
<p>
  Veja estes exemplos _`[no representados_`]:
<F->
hexgono regular inscrito
octgono regular inscrito
<F+>

Polgonos circunscritveis a uma 
  circunferncia 

  Quando uma circunferncia  tangente a todos os lados de um polgono, dizemos que o polgono  circunscritvel a essa circunferncia. Nesse caso, a circunferncia est inscrita no polgono. 
  Observe os exemplos _`[no representados_`]:
<R+>
<F->
 O tringulo tem os trs lados tangentes  circunferncia: o tringulo est circunscrito  circunferncia (ou ao crculo). 
 O centro da circunferncia dista igualmente dos trs lados do tringulo. Portanto, O  a interseo das bissetrizes do tringulo. 
<p>
 O quadriltero tem os quatro lados tangentes  circunferncia. Portanto, o quadriltero est circunscrito  circunferncia. 
 O centro da circunferncia dista igualmente dos quatro lados do quadriltero. 
 O pentgono tem os cinco lados tangentes  circunferncia, ou seja, o pentgono est circunscrito  circunferncia. 
 O centro da circunferncia dista igualmente dos cinco lados do pentgono. 
<F+>
<R->
<213>
  Podemos notar que: 

  Um polgono  circunscritvel somente se existe um ponto O igualmente distante de todos os lados do polgono. 

  Nem todos os polgonos so circunscritveis. Os mais importantes polgonos circunscritveis so: 
<R+>
<F->
 os tringulos em geral, porque todo tringulo tem um ponto O (incentro) igualmente distante dos trs lados; 
 alguns quadrilteros (aqueles em que as somas das medidas dos lados opostos so iguais); 
 os polgonos regulares com qualquer nmero de lados. 
<F+>
<R->
  Veja:  

_`[{figuras no representadas_`]

<R+>
 quadrado circunscrito 
 hexgono regular circunscrito
<R->

Elementos notveis de um polgono 
  regular 

  No estudo dos polgonos regulares  importante conhecer alguns elementos. Vejamos: 
<R+>
 Centro:  o centro comum das circunferncias inscrita e circunscrita. 
<R->
  O centro  o ponto onde concorrem as mediatrizes dos lados e as bissetrizes dos ngulos internos. 
<R+>
<p>
 Aptema:  o segmento perpendicular ao lado com uma extremidade no centro e a outra no ponto mdio do lado. 
<R->
  No hexgono regular: 
<R+>
 O  o centro; 
 M  o ponto mdio; 
 ^c?{o{m*  o aptema =an; 
 ac  o ngulo central; 
 ai  o ngulo interno; 
 ae  o ngulo externo. 
<R->
  Se o polgono regular tem *n* lados, valem as seguintes expresses: 
<R+>
 ngulo central: ac=360}~n 
 Soma dos ngulos internos: Si=`(n-2`).180} 
 ngulo interno: ai=Si~n ou ai=?`(n-2`).180}*~n
 Soma dos ngulos externos: Se=360}
 ngulo externo: ae=Se~n ou ae=360}~n 
 ai+ae=180}
<R->

<214>
<p>
rea do polgono regular 

  Vamos indicar: 
<R+>
 *n*: nmero de lados do polgono; 
 *l*: medida do lado; 
 *a*: medida do aptema; 
 2p: permetro `(2p=nl`). 
<R->

<F->
   cccccccu
         
          
           
      x      
          
         
   -----
       l 
<F+>

  Se o polgono tem *n* lados, ento a rea  igual a *n* vezes a rea do tringulo de base *l* e altura *a*: 
 A=n?la*~2=?nla*~2=
  =?2pa*~2=pa
<p>
  Logo, a rea do polgono regular  igual ao semipermetro vezes o aptema: 
 A=pa 
  Leia novamente o problema proposto no incio do captulo. Agora podemos responder  pergunta sobre a rea do jardim. 
  A praa tem a forma de um hexgono regular com lado igual a 56 m. Assim, l=56 m e n=6. Portanto, temos o semipermetro *p*: 
 2p=566 :> p=563 :> p=168 m 
  Lembrando que o aptema do hexgono  igual  altura do tringulo equiltero, temos: 
 a=?l3*~2=?563*~2 
  :> a=283 m
  Ento, a rea do hexgono regular : 
 A=pa=168283=47043 
  Ou, fazendo 3=1,73: 
 A=8.137,92 m2 que  a rea do 
  jardim na praa. 
<215>
<p>
Exerccios

  Lembre-se de que:
<R+>
<F->
 no tringulo equiltero o ortocentro, o baricentro, o incentro (centro da circunferncia inscrita) e o circuncentro (centro da circunferncia circunscrita) so coincidentes e que o baricentro divide a mediana em duas partes que medem 1~3 e 2~3 desta;
 no quadrado a diagonal passa pelo centro;
 no hexgono regular as diagonais maiores passam pelo centro e determinam nele 6 tringulos equilteros.

_`[{para os exerccios 56 a 62, pea orientao ao professor_`]

56. Sendo 6 m o lado do tringulo equiltero, determine: 
a) a altura do tringulo;  
b) o raio R da circunscrita;  
<p>
c) o raio *r* da inscrita;  
d) o aptema do tringulo.  

57. Sendo 8 m o lado do quadrado, determine: 
a) a diagonal;  
b) o raio R da circunscrita;  
c) o raio *r* da inscrita;  
d) o aptema do quadrado.  

58. Sendo 6 m o lado do hexgono, determine: 
a) a diagonal maior;  
b) o raio R da circunscrita;  
c) o raio *r* da inscrita;  
d) a diagonal menor;  
e) o aptema do hexgono.  

59. Calcule a medida do ngulo central dos seguintes polgonos regulares: 
a) tringulo; 
b) pentgono; 
c) octgono; 
d) decgono. 
<p> 
60. Qual  o polgono regular em que a medida do ngulo central  18?  
61. Sabendo que {a{b{c{d{e{f  um hexgono regular, determine *x*, *y* e *z*.  
62. Sabendo que {a{b{c{d{e  um polgono regular, determine *x*, *y* e *z*.  
<216>

63. Calcule a medida do ngulo interno dos polgonos regulares a seguir. 
a) quadrado; 
b) hexgono; 
c) enegono; 
d) dodecgono. 

64. Determine o nmero de lados de um polgono regular cujos ngulos internos medem 170.  
<p>
65. Calcule a medida do ngulo externo de cada um dos polgonos regulares a seguir. 
a) tringulo; 
b) pentgono; 
c) octgono. 

66. Cada ngulo externo de um polgono regular mede 40. Quantos lados tem o polgono?  

67. A medida do ngulo central de um polgono regular  24. Determine as medidas: 
a) do ngulo externo; 
b) do ngulo interno.  

68. Determine qual  o polgono regular em que o ngulo interno  o triplo do ngulo externo.  
69. O ngulo :?{a{d{c* de um polgono regular {a{b{c{d{e{f... mede 30. Determine a soma dos ngulos internos desse polgono. 
<p>
70. Para cada polgono regular a seguir, determine a quantidade 
  de medidas diferentes que obtemos ao medir suas diagonais. 
a) quadrado; 
b) hexgono; 
c) octgono.  

71. Calcule a rea de um polgono regular que tem permetro 123 cm e aptema de 2 cm. 
72. Calcule o permetro de um polgono regular, conhecendo o aptema `(8 cm`) e a rea (256 cm2).
73. Calcule a rea de um hexgono regular de lado 4 cm. 
74. A soma dos ngulos internos de um polgono regular  1.440. Determine a medida do ngulo central. 

75. A soma dos ngulos internos de um polgono regular  3.240. Determine as medidas: 
a) do ngulo central; 
b) do ngulo externo.  
<p>
76. Determine qual  o polgono regular cujo o ngulo central  #,d do ngulo interno. 
77. As mediatrizes dos lados ^c?{a{b* e ^c?{c{d* de um polgono regular {a{b{c{d{e{f... formam um ngulo de 20, que contm B e C. Quantas diagonais desse polgono passam pelo centro? 
78. Um polgono regular tem permetro igual a 40 cm e aptema igual a 5 cm. Qual  a sua rea?  
<F+>
<R->
<217>

Desafio 

No quebre os ladrilhos 

  Jos Alberto quer ladrilhar a cozinha de sua casa com peas todas iguais entre si. Com quais 
<p>
dos ladrilhos _`[no representados_`] 
 impossvel solucionar o problema? Por qu? 
<R+>
 
_`[{ladrilhos: hexgono regular, pentgono regular, octgono regular, retngulo, tringulo equiltero, quadrado_`]

<R->
Matemtica em notcia

  Observe o grfico, em que esto representados os pontos obtidos pelos quatro pilotos de Frmula 1, em cada uma das seis primeiras corridas, em 2008. 

<R+>
_`[{grfico de linhas "O mundial de F1" mostrando o biorritmo dos quatro primeiros (em pontos), contedo a seguir_`]
<F->
Hamilton: Austrlia 10; 
  Malsia 4; Bahrein 0; 
  Espanha 6; Turquia 8; 
  Mnaco 10. 
Total: 38
<p>
Kubica: Austrlia 0; Malsia 8; Bahrein 6; Espanha 5; Turquia 5; Mnaco 8. 
Total: 32
Massa: Austrlia 0; Malsia 0; Bahrein 10; Espanha 8; Turquia 10; Mnaco 6. 
Total: 34
Raikkonen: Austrlia 0; 
  Malsia 10; Bahrein 8; 
  Espanha 10; Turquia 6; 
  Mnaco 1.
Total: 35 

a) Numa mesma figura e usando uma cor para cada piloto, faa os grficos dos pontos acumulados por eles, em cada uma das corridas. 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

b) Qual era a classificao de cada piloto, depois de computados os pontos das seis corridas? 
<p>
c) Qual era a classificao, depois de computados os pontos das quatro primeiras corridas? 
<R->
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quinta Parte
